Demostrar que M es compacto en R³:

Veamos que M es acotado:

Sea (x,y,z)€M; ||(x,y,z)|| = sqrt(M) =r como la norma es

 igual a r, podemos decir que el subonjunto es acotado.

Veamos que M es cerrado:

Necesitamos encontrar una aplicacion continua tal que

su inversa aplicado a un cerrado sera un cerradi. Esta es en concreto g^-1({0})=M, lo que prueba que M es un

cerrado

Inversa:

Entonces por el teorema de la funcion inversa, f posee una funcion inversa de clase C¹

Con otras palabras, para cada punto (x,y,z)€R^3, existe un

 entorno abierto U del punto (x,y,z)€R³ y un entorno

 abierto V de g(x,y,z) en R³ de manera que g(u)=V la funcion g|u: U→V tiene una funcion inversa (g|u)^-1 V→U

de clase C' en U y se verifica que Dg^-1(g(x,y,z)=Dg(x,y,z)

para todo punto (x,y,z)€U. Matricialmente, esta igualdad

 de aplicaciones lineales se expresa como

(g^-1)'(g(x,y,z)=g'(x,y,z)^-1 para todo (x,y,z)€K

Comprobar que M es una variedad diferenciable

Sea g:R³  → R dada por g(x,y,z) = x² + y² z² -4 √(x,y,z)€R³

Claramente g€C⁰⁰ =(2X 2Y 2Z) √(x,y,z)€R³

Probemos que M={(x,y,z)€R³: g(x,y,z)=; rg(g'(x,y,z))=1}

Sea (x,y,z)€R³: g(x,y,z)=0 obtenemos que x² + y² + z²=4,

 y por lo tanto cumple cualquier punto de g(x,y,z,),

tambien va a pertenecer a M.

Sea (x,y,z)€M:  x² + y² + z²=4 y se cumple que tambien

 va a pertenecer a g(x,y,z)

Sabemos que rf(g'(x,y,z))€{0,1}

Supongamos que rg(g'(x,y,z)=0 Entonces tendriamos

que 2x=2y=2z, por tanto (x,y,z)=(0,0,0), pero esto no puede ocurrir ya que (0,0,0)¢ M. Por tanto rg(g’(x,y,z))=1

Queda demostrado entonces que M es una variedad diferenciable en R³

Determinar los extremos absolutos de f sobre M:

Por el teorema de Weirstrass, dadda que f es continua sobre un compacto M, podemos afirmar que f posee máximos y minimos absolutos. Sean (x,y,z) y (x’,y’,z’) dichos extremos, por la regla de los multiplicadores de Lagrange, como f C’(R³R) y M es una variedad diferenciable compacta, serán puntos cricios de la duncion auxiliar de Lagrange F sobre M. Sea B={P1,P2}