5.2. Derivabilidad y extremos relativos 5.2.1. Crecimiento y decrecimiento: Teorema: Si una función ) f (x derivable en un punto x = a tiene (f’(a)>0, f’(a)<0) entonces f(x) es estrictamente (creciente, decreciente) en el punto x=a.
5.2.2. Extremos Relativos Definición: Si f ′(a) = 0, se dice que x = a es un punto estacionario de f (x). Teorema: Si f (x) es derivable y tiene un extremo relativo en x = a , entonces f ′(a) = 0 . Es consecuencia del resultado anterior, porque si f ′(a) fuese (>0,<0), la función sería estrictamente (creciente,decreciente) en x = a . Nota: Como hemos visto, 0 f ′(a) = no es condición suficiente para que exista extremo. Sif ′(a) =0 , se dice que x = a es un punto crítico o estacionario de f (x) . Teorema: Si una función f (x) verifica f ′(a) = 0 y (f’’(a)>0, f’’(a)<0) entonces la función f(x) tiene un(minimo, máximo) relativo en sentido estricto en x=a. Demostración: Supongamos que f ′′(a) >0 . Entonces f ′(x) es estrictamente creciente en x = a, ∃E(a,δ) / ∀x∈ E(a,δ): (x<a⇒f’(x)<f’(a)=0, x>a⇒f’(x)>f’(a)=0). Es decir, a la (izquierda, derecha) de x=a, (f’(x)<0, f’(x)>0) por tanto, f(x9 es estrictamente (decreciente, creciente). Luego f(x) tiene un minimo relativo en sentido estricto en x=a.5.3.1. Teorema de Rolle Si una función f (x) es continua en un intervalo cerrado [a,b], derivable en el intervalo abierto (a,b) y cumple que f (a) = f (b) , entonces ∃c∈(a,b) tal que f ′(c) = 0 , es decir, en un punto interior del intervalo la recta tangente a la función es horizontal. Demostración: Caso 1: f (x) es una función constante en [a,b]. Entonces, ∀x∈[a,b] se tiene que f (a) = f (b) = f (x) , luego ∀x∈(a,b) se cumple que f ′(x) = 0 .Caso 2: f (x) no es constante en [a,b]. Al ser f (x) continua en [a,b], por el teorema de Bolzano-Weierstrass, posee un máximo y un mínimo absolutos, es decir, ∃α,β∈[a,b] tales que ∀x∈[a,b] se cumple que ) f (α) ≤ f (x) ≤ f (β . Como la función no es constante, el máximo y el mínimo han de ser distintos, luego f (α) < f (β) , y, por tanto, al menos uno de los extremos ha de ser relativo, ya que f (a) = f (b) . Luego ) ∃c∈(a,b) tal que f ′(c) =0 .5.3.2. Teorema del valor medio Si una función f (x) es continua en un intervalo cerrado [a,b] y derivable en el intervalo abierto (a,b), entonces ∃c∈(a,b) tal que f’(c)=f(b)-f(a)/b-a. Demostración: Definimos ρ(x) como la diferencia entre las ordenadas de la función f (x) y la recta y(x) que pasa por los puntos ( a, f (a)) y (b, f (b)). P(x)=f(x)-[f(a)+(f(b)-f(a)/b-a. (x-a)] Interpretación geométrica: El teorema del valor medio dice que si se cumplen las condiciones iniciales exigidas, habrá un punto c perteneciente al intervalo (a,b) en el que la recta tangente a la función sea paralela a la cuerda que une los puntos (a, f (a)) y (b, f (b)) . Otra forma de expresar este teorema es mediante la denominada fórmula de los incrementos finitos: f(b)-f(a)=f’(c)(b-a)5.4. Concavidad y convexidad (su relación con la derivada) Teorema: Si una función f (x) tiene (f’’(a)>0, f’’(a)<0), entonces f(x) es estrictamente (convexa, cóncava) en el punto x=a.