Derivadas. f(x)= 2elevado a x + x2 / x= f’(x) = 2elevado a x por ln(2)(x2 ) - 2elevado a x (2x) / (x)2 = 2 elevado a x (ln(2)(x2) -2x) / (x)2. g(x) = (x2 + 1) 2 por ln(e elevado a 3x + 4) = g’(x) = 2(x2 + 1)elevado a 1 (2x) ln (e elevado a 3x + 4) + (x2 + 1)cuadrado por 3 por e elevado a 3x / e elevado a 3x + 4 = (4x elevado a 3 + 4x) ln (e elevado a 3x + 4) + 3 por e elevado a 3x (x2+1) / e elevado a 3x +4. h(x) = 1/3x - 5/x2-2. = h’(x)= -1/3x2 - -10/(x2-2)cuadrado= -1/3x2 + 10x/(x2-2)cuadrado. Tras un test realizado a un nuevo modelo de automóvil. a) El consumos a 50 km/h es c(50) = 7’5 – 0’05(50)+ 0’00025(50)2 = 5’625 litros El consumos a 150 km/h es c(150) = 7’5 – 0’05(150)+ 0’00025(150)2 = 5’625 litros b) Vemos que la gráfica de la función c(x) es una parábola con las ramas hacia arriba, por tanto decrece por la izquierda, hasta las abscisa del vértice ( que es un mínimo) y que crece a la derecha del la abscisa del vértice. La abscisa del vértice se obtiene resolviendo la ecuación c’(x) = 0. c(x) = 7’5 – 0’05x+ 0’00025x2 ; c’(x) = – 0’05+ 0’0005x = 0, de donde x = 0’05/0’0005 = 100. La función c(x) decrece en el intervalo 25 ≤ x ≤ 100. La función c(x) crece en el intervalo 100 ≤ x ≤ 175. c) Sabemos que los máximos y mínimos absolutos de una función se alcanzan en los extremos del intervalo, 25, 175; y en los puntos que anulan la primera derivada el100. Entramos con 25, 100 y 175 en c(x). El valor mayor será el máximo absoluto, y el valor menor será el mínimo absoluto. c(25) = 7’5 – 0’05(25)+ 0’00025(25)2 = 6’40625 litros ; c(100) = 7’5 – 0’05(100)+ 0’00025(100)2 = 5’625 litros ; c(175) = 7’5 – 0’05(175)+ 0’00025(175)2 = 6’40625 litros. El valor máximo es de 6’40625 litros y se alcanza en las velocidades de 25 km/h y 175 km/h. El valor mínimo es de 5 litros y se alcanza en la velocidad de 100 km/h. Se considera la función dada por f(x) = -2/x+2 si x≤0 ; 2/x-2 six>0. a) f(x) = -2/x+2 es continua en R – {-2}, por tanto tampoco es derivable en x = -2. Como esta definida en x≤ 0, tendremos que estudiar después su continuidad y derivabilidad en x = 0. f(x) = 2/x-2 es continua en R – {2}, por tanto tampoco es derivable en x = 2. Como está definida en x> 0, tendremos que estudiar después su continuidad y derivabilidad en x = 0 lim de x tiende a 0 por la izquierda de -2/x+2= -1 . Lim de x tiende a 0 por la derecha de 2/x-2= -1. f(0) = lim de x tiende a 0 de f(x) = -1. Continua en x=0. Calculamos la función derivada: f’(x) = 2/(x+2)cuadrado si x<0 ;="" -2/(x-2)cuadrado="" si="" x="">0. f’(0izquierda) =1/2. f’(0derecha) = -1/2 ; no es igual. No derivable en x = 0. Luego la función f(x) es continua en R - { -2,2} y derivable en R - {0, -2, 2}. b) La recta x = -2 es una asíntota vertical, ya que: lim de x tiende a -2 de -2/x+2 = ∞. La recta x = 2 es una asíntota vertical, ya que: lim de x tiende a 2 de 2/x-2= ∞. La recta y = 0 es una asíntota horizontal, ya que: lim de x tiende a menos ∞ de -2/x+2= lim de x tiende a ∞ de 2/x-2= 0.0>