REPRESENT DECIMAL NORMALIZADA: x=+-(AqAq-1....A1a0.B1B2...Bp...)= Aq*10^q+Aq-1*10^q-1+...+A1*10+A0*1+B1*10^-1+...+Bp*10^-p =+-(0.d1d2...dpdp+1..)*10^n.
ORDEN Y ESTIM MAS: Sea f con un punto fijo α∈(a,b). Se supone que f es de clase p≥1 en un entorno de α con |f’(α)|<1 y tal que: f’(α)=f’’(α)=…=f^(p-1)(α)=0. Entonces el MAS es localmente converg en un entorno (α-δ, α+δ) y cualquiera que sea x0∈(α-δ, α+δ) el error verifica (Xn+1-α)/(Xn-α)^p= (f^p(ξn))/p! (ξn entre Xn y α). Lim(n->inf)((Xn+1-α))/(Xn-α)^p)=(f^p(α))/p!, garant al menos orden p: f(Xn)=f(α)+f’(α)/1!(Xn- α)+f’’(α)/2!(Xn- α)^2+…+f^(p-1)(α)/(p-1)!(Xn-α)^p-1+ f^p(ξn))/p!(Xn-α)^p.
CONVERGENCIA GLOBAL MN: Sea F, F∈C^2([a,b]) verificando: (i)F(a)F(b)<0, (ii)F’≠0 en [a,b], (iii)F’’≤  ó F’’≥0 en [a,b], (iv)Si c∈{a,b} denota el extremo de [a,b] en el que |F’| es más pequeño, se tiene |F(c)/F’(c)|≤b-a. Entonces, la ecuación F(x)=0 tiene una única raíz  α∈(a,b) y cualquiera que sea x0∈[a,b], el método converge a α: (i)a≤x0≤α. Se demuestra que la sucesión (Xn) verifica Xn≤Xn+1≤α, para todo n≥0, β=lim(n->0)(Xn). Xn+1=Xn-F(Xn)/F’(Xn), F(β)/F’(β)=0, β=α. (ii)α≤x0≤b. Se prueba que en este caso a≤x1≤α de modo que, salvo el primer término, la sucesión satisface las condiciones del caso anterior y su convergencia está asegurada. Supongamos que para algún n≥0 se tiene: a≤Xn≤α. Probaremos que Xn≤Xn+1≤α. En efecto, Xn≤α implica que F(Xn)≤0 y como F’(Xn)>0 se tiene Xn+1=Xn-F(Xn)/F’(Xn)≥Xn. Por el th. Valor medio -F(Xn)=F(α)-F(Xn)=F’(ξn)(α-Xn), Xn ≤ ξn≤α. Como F’ es decreciente se tendrá F’(ξn)≤F’(Xn) y por tanto -F(Xn)≤ F’(Xn)(α-Xn), de donde Xn+1=Xn-F(Xn)/F’(Xn)≤Xn+(α-Xn)=α. Por inducción en n se deduce que si a≤x0 ≤x1≤…≤Xn≤α. En este caso F(x0)≥0 y además por el teorema del valor medio: F(x0)=F(α)+F’(ξ0)(x0-α). Como F’ es decreciente F’(ξ0)≥F’(x0) de donde se sigue F(x0)≥F’(x0)(x0-α), y por tanto: x1=x0-F(x0)/ F’(x0)≤x0-(x0-α)=α. Por el th del valor medio F(x0)=F(b)+F’(ξ)(x0-b). F’ es decreciente de modo que F’(b)≤F’(ξ) y F(x0)≤F(b)+F’(b)(x0-b). Además x0≤b, y por tanto, 1/F’(b)≥1/F’(x0). Así x1=x0-F(x0)/F’(x0)≥ x0-F(x0)/F’(xb)≥x0-(F(b)/F’(b)+x0-b)=-F(b)/F’(b)+b. Por la hip (iv) se tiene F(b)/F’(b)≤b-a, y por tanto, x1≥a La condición (iv) garantiza que el primer iterante cae dentro del intervalo [a,b].