Llamaremos combinacion lineal de un conjunto de vectores v1 , v2 . . . , vk a cualquier expresi´on de la forma λ1v1 + λ2v2 + . . . + λkvk donde λ1, λ2, . . . , λk ∈ K.

Sea V un e.v. y S ⊂ V . Diremos que S es un sistema generador (s.g.) de V si cualquier vector de V se puede expresar como combinaci´on lineal de elementos de S. 

Diremos que los vectores v1 , v2 . . . , vk son linealmente independientes (l.i.) si la ´unica combinacion de ellos que es 0 es la que tiene nulos todos los escalares, es decir, λ1v1 + λ2v2 + . . . + λkvk = 0 ⇒ λ1 = λ2 = . . . = λk = 0 Un conjunto infinito de vectores es l.i. si cualquier subconjunto finito de vectores es l.i

Sea S ⊂ V con V e.v. Llamaremos espacio lineal generado por S al conjunto de todas las c.l. de elementos de S. Este conjunto se denotar´a lin(S). Algunas observaciones sobre lin(S): o.1) Resulta obvio que lin(S) satisface la condici´on de subespacio CS y, por tanto, es un subespacio vectorial de V . o.2) lin(S) es el menor subespacio vectorial que contiene a S, puesto que cualquier subespacio que contenga a S debe contener todas las c.l. de los vectores de S, es decir, debe contener a lin(S). o.3) S1 ⊂ lin(S2) ⇒ lin(S1) ⊂ lin(S2) puesto que al ser lin(S2) e.v. debe contener todas las c.l. de sus vectores.

Llamaremos espacio de filas y espacio de columnas respectivamente de la matriz A a los siguientes conjuntos. f il(A) = lin{r1 , r2 , . . . , rm} (3.2) col(A) = lin{c1 , c2 , . . . , cn}

Sea V un e.v. sobre C y T : V −→ V una aplicaci´on lineal. Diremos que v ∈ V − {0} es un vector propio o autovector de T si existe λ ∈ C tal que T(v) = λv. En este caso, λ recibe el nombre de valor propio o autovalor de T.

Sea T : V → V una aplicacion lineal y λ un autovalor de T. Llamaremos espacio caracter´ıstico de T asociado al autovalor λ al conjunto Wλ = {v ∈ V /T(v) = λv}. El espacio caracter´ıstico de una aplicaci´on lineal asociado a un autovalor λ es por tanto, al igual que suced´ıa con matrices, el conjunto formado por todos los autovectores correspondientes a ese autovalor junto con el vector nulo. Este conjunto es un subespacio vectorial de V .

Sea V e.v. Sean v1 , v2 . . . , vk ∈ V . Entonces v1 , v2 . . . , vk son l.d. ⇐⇒ ∃j ∈ {1, 2, . . . , k} tal que vj = Sumk i = 1 i 6= j αi

Demos. v1 , v2 . . . , vk l.d. ⇒ ∃(β1, β2, . . . , βk) 6= (0, 0, . . . , 0) tal que

Sum k i=1 βivi = 0

 (β1, β2, . . . , βk) != (0, 0, . . . , 0) ⇒ ∃j ∈ {1, 2, . . . , k} / βj != 0 

Podemos despejar vj y tendremos 

vj = Sum k i = 1 i != j  −βi/βj vi

es decir, tendremos vj expresado como c.l. de los restantes, como afirma el teorema.

vj − Sum k i = 1 i != j αivi = 0

Tenemos as´ı una c.l. nula que no tienen nulos todos los escalares puesto que vj va multiplicado por 1. Esto asegura la dependencia de los vectores que aparecen en la c.l. 

Sea v ∈ lin{u1 , u2 , . . . , uk} con u1 , u2 , . . . , uk l.i.. Entonces los escalares λ1, λ2, . . . , λk tales que v = Pk i=1 λiui son ´unicos

Supongamos que v = Sum k i=1 αiui = Sum k i=1 βiui

con (α1, . . . αk) 6= (β1, . . . , βk), es decir, con alg´un escalar distinto en las dos c.l. Entonces 

0 = Sum k i=1 αiui − Sum k i=1 βiui = Sum k i=1 (αi − βi)uj