Tema 4: La función derivada respecto de un vector.Si f : C → R q definida en un abierto C ⊆ R p es derivable respecto de un vector u distinto 0 en todos los puntos de C.Funciones de clase.Sea f : C → R q función definida en C ⊆ R p abierto y a ∈ C. Se dice que f es de clase C 0 en a si f es continua en a, y que es de clase C 0 en C si f es continua en C. Se dice que f es de clase C 1 en a si f tiene sus p derivadas parciales en un entorno de a y éstas son continuas en a. Se dice que f es de clase C 1 en C si f es de clase C 1 en todo punto a de C.Definición de función diferenciable. Sea f : C → R q una función definida en un abierto C ⊆ R p y sea a ∈ C. Se dice que f es diferenciable en a cuando se cumple una de las condiciones siguientes (que son equivalentes): - Existe una aplicación lineal, denominada diferencial de f en a y que denotaremos df (a) : R p → R q , de modo que se cumpla l´ımx→a f (x) − f (a) − df (a)(x − a) ||x − a|| = 0 - Existe una aplicación lineal df (a) : R p → R q y una función (definida en un entorno del origen para el cual a + h ∈ C) tipo h 7→ (h) tal que f (a + h) − f (a) = df (a)(h) + (h)||h|| y l´ım h→0 (h) = 0.Regla de la cadena.. Si f es diferenciable en x, y g es diferenciable en y = f (x), entonces g ◦ f es diferenciable en x, y se cumple d(g ◦ f )(x) = dg (f (x)) ◦ df (x).Funciones homogéneas. Definición. Sea f : C → R una función real definida en un abierto C ⊆ R p . Se dice que f es homogénea de grado α 6= 0 en C si para cada x ∈ C y cada t > 0 con t x ∈ C se verifica f (tx) = t α f (x). Teorema de Euler.. Sea f : C → R una función diferenciable definida en un abierto C ⊆ R p . Si f es homogénea de grado α 6= 0 en C, entonces ∇f (x) · x = x1 ∂f ∂x1 (x) + · · · + xp ∂f ∂xp (x) = α f (x) ∀ x = (x1, . . . , xp) ∈ C; y viceversa.Teorema de Taylor.Sea f : C → R una función real definida en un abierto C ⊆ R p y sean a, a + h ∈ C dos puntos de C tales que [a, a + h] ⊆ C. Si f es de clase C n en todos los puntos de [a, a + h], entonces existe ξ ∈ (a, a + h) tal que f (a+h) = f (a)+df (a)(h)+ 1 2!d 2 f (a)(h)+· · ·+ 1 (n − 1)! d n−1 f (a)(h)+rn(h) con rn(h) = 1 n! d n f (ξ)(h) (.