COORDENADAS
Sea ???? un espacio vectorial sobre un campo ???? Una base es un conjunyto de vectores linealmente independientes que generan V. Lo indicamos ???? = (????1 , ????2 , … , ???????? )
base oredenada: son aquellas en la cualeslos vectores se especifican en un cierto orden ???? = (????1 , ????2 , … , ????????
) ⟶ ???????????????? ???????????????????????????????? ???????? ????
sea v un esp. vect sobre un campo k. ???? = (????1 , ????2 , … , ???????? ) ⟶ ???????????????? ???????????????????????????????? ???????? ????
Cualquier vector de ???? ∈ ???? se expresa de forma única como comb. lineal de los vectores de la
base.
???? ∈ ???? ⇒ ???? = ????1????1 + ????2????2 + ⋯ + ????????????????
Los escalares utilizados en la combinación lineal, se denominan coordenadas del vector ???? respecto
de la ???????????????? ???? & lo indicamos:
[????]???? = [
????1
????2…
????????
] ???? (????)???? = (????1 + ????2 + ⋯ + ????????
)
Propiedades
a) (???? + ????)???? = (????)???? + (????)????
b) (???? . ????)???? = ????(????)????
∀ ???? ∈ ???? & ???? , ???? ∈ ????
En base a estas propiedades:
(????1????1 + ????2????2 + ⋯ + ????????????????
)???? = ????1
(????1
)???? + ????2
(????2
)???? + ⋯ + ????????
(????????
)????
Las coordenadas de una combinación lineal de vectores es igual a la combinación lineal de las
coordenadas de cada vector.
Para cada base de un espacio vectorial, queda definida una aplicación lineal que transforma cada
vector del espacio vectorial en un vector fila o vector columna de dimensiones ???? siendo dim ???? = ????.
Cambio de base :Vamos a determinar cómo se relacionan las coordenadas de un vector respecto de bases distintas.
Sea ???? un espacio vectorial sobre un campo ???? → dim ???? = ????
???? = (????1 , ????2 , … , ????????
)
????` = (????1´ , ????2 , … , ???????? )
⟶ ???????????????????? ???????????????????????????????????? ???????? ???? ´
Si ???? ∈ ???? se verifica que:
???? = ????1????1 + ????2????2 + ⋯ + ???????????????? ; [????]???? = [
????1
????2…
????????
]
* ????= ????1????1´+ ????2????2´+ ⋯ + ????????????????´ ; [????]
????
???? = [
????1
????2…
????????
]
Se expresa como combinación lineal de forma única
Tomamos coordenadas respecto de la base ???? en *
[v] B= [????1????1´+ ????2????2´+ ⋯ + ????????????????´] B
por las prop. de comb lineal de coord:
[v] B=
[v] B=
por las prop de prod de matrices
[v] B=
prop matriz cambio de base