Exponentes y Radicales




Radicales



A continuación definiremos la principal raíz enésima de un numero real. 


Definición deexprad026.gif
Sean n un numero entero positivo mayor de 1 y a , un numero real.
 1) Si  exprad027.gif, entonces exprad028.gif
    2) Si  exprad029.gif , entonces exprad026.gif es el número real positivo b tal que  exprad030.gif.
 3)  a)   Si exprad031.gif y n es non, entonces exprad026.gifes el numero real negativo b tal que exprad030.gif.
       b)   Si exprad031.gif y n es par, entonces exprad026.gif no es un número real. 


Si n=2 se escribe exprad032.gif en lugar de exprad033.gif y exprad032.gif se llama raíz cuadrada principal de o simplemente raíz cuadrada de a. El número exprad034.gif es la raíz cúbica de a. 



Ilustraciones:
                   exprad036.gif 

Observa que exprad037.gif porque  , por definición, las raíces de números reales positivos son positivas. El símbolo exprad038.gif se lee "más o menos".
Para completar nuestra terminología, la expresión exprad026.gif es un radical, el número a se llama radicando y n es el índice del radical. El símbolo exprad039.gifes el signo radical.
Si exprad040.gif, entonces exprad030.gif ; esto es, exprad041.gif.

En general se presenta la siguiente tabla de propiedades. 



Propiedades de exprad042.gif (n es un entero positivo).

Propiedad

Ejemplo

exprad043.gif exprad044.gif
exprad045.gif exprad046.gif
exprad047.gif exprad048.gif
exprad049.gif exprad050.gif
De esta ultima propiedad vemos que: exprad051.gif para todo numero real x. En particular, si exprad052.gif entonces exprad053.gifsin embargo si exprad054.gif, entonces exprad055.gif, que es positiva.


Las tres leyes siguientes son verdaderas para los enteros positivos m y n, siempre que existan las raíces indicadas; es decir, siempre que las raíces sean números reales.

Ley

Ejemplo

exprad056.gif exprad057.gif
exprad058.gif exprad059.gif
exprad060.gif exprad061.gif


Advertencias respecto a errores comunes:
exprad062.gif 







Simplificar un radical quiere decir eliminar factores del radical hasta que el radicando contenga sólo exponente igual o mayor que el índice del radical y el índice sea tan pequeño como sea posible.

Eliminación de factores de radicales.
Simplifica el radical (todas las letras denotan números reales positivos):
a) exprad063.gif         b) exprad064.gif         c) exprad065.gif     



Solución
a) 
    exprad066.gif 
b) 
    exprad067.gif 
c) 
    exprad068.gif 
Si al denominador de un cociente contiene un factor de la forma exprad069.gifcon k < n y a > 0 entonces al multiplicar numerador y denominador por exprad071.gifeliminaremos el radical del denominador porque:  exprad070.gif
Este proceso se llama racionalización del denominador.

Factor en el denominador

Multiplicar numerador y denominador por

Factor resultante

exprad072.gif exprad073.gif exprad074.gif




Ejemplos


Racionalización de denominadores
Racionaliza:

a) exprad075.gif                 b) exprad076.gif


Solución 
a) 
    exprad077.gif

b) 
    exprad078.gif 



Este proceso algebraico, en cursos avanzados puede complicar el calculo para la resolución del problema, es por ello que se recomienda analizar y seleccionar el procedimiento adecuado.





Definición de exponentes racionales

Sea m/n un numero racional, donde n es un entero positivo mayor de 1. Si a es un numero real tal que existe exprad026.gif , entonces
exprad079.gif 


Nota:
Las leyes de los exponentes son ciertas para exponentes racionales e irracionales.





Simplificación de potencias racionales
Simplifica:
a)    exprad080.gifb)  exprad081.gif


Solución 
a) 
exprad082.gif 
b) 
exprad083.gif